基于弹塑性修正Hertz接触理论的落石冲击力计算方法

刘茂

doi:10.3969/j.issn.1003-8035.2012.03.005

摘要: 本文以弹塑性修正的Hertz接触理论为基础,考虑落石冲击缓冲层过程的复杂性和缓冲层厚度的影响,结合路基规范方法的落石冲击深度公式,得出落石最大冲击力计算方法。以日本道路公团方法计算结果上浮40%为基准值,引入参数影响系数f,拟合出参数影响系数‘多项式函数,采用S.Kawahara等教授的试验结果,对杨其新方法进行修正,拟合出其高值(h=0.5m)与低值(h=3.0m)比值的多项式函数。本文方法与陈氏方法进行比较得知:陈氏方法的最大冲击力低值稍高于本文方法,其范围为1.05~1.02(H=5~30m)。运用布西涅斯克解,推导出了落石冲击荷载作用于拦石墙背部的附加应力计算公式,为拦石墙构筑物的结构设计打下了理论基础。

关键词:

Abstract: A theoretical method based on modified Hertz contact theory is presented for calculation of impact force of falling rock. Combining the formula of the impact depth of falling rock in Code for design of highway subgrades. Special attentions are given to the complexity of impact and the thickness of soil buffer layer. The paper introduces Parameters influence coefficientζand polynomial was obtained for polynomial fitting method about it, according to Japan Highway Public Corporation calculated the results go up 40% as the base value. The method of Yang is modified using test results of S. Kawahara, etc. Professor to consider the maximum impact force. Polynomial is obtained for the ratio of high value (h = 0.5m) and low value (h = 3.0m). This method is compared with the method of Chen professor, it is shown that the method of Chen professor is slightly higher than this method in low value, the scope for 1.05 - 1.02 (H = 5 - 30m). A formula is obtained using Boussinnesq s solution for the additional stress of falling rock impact load acting on the retaining wall back, This provides a theoretical basis for the structural design of retaining wall.

Key words:

硬X射线自由电子激光装置位于上海张江综合性国家科学中心核心区域，装置总长约3.1 km，包含超导直线加速器隧道、波荡器隧道、光束线隧道等结构。该装置建成后，将成为世界上最高效和最先进的自由电子激光用户装置之一。硬X射线自由电子激光具有更高的亮度、更短的脉冲结构和更好的相干性，能提供的X射线峰值亮度比第三代同步辐射光源高10⁹倍。作为世界顶级的科研基础设施，硬X射线自由电子激光装置将刺激多类学科的发展，为物理、化学、生命科学、材料科学、能源科学等多学科提供高分辨成像、超快过程探索、先进结构解析等尖端研究手段。该装置的土建部分由多条平行盾构隧道组成。在深埋小净距的特殊情况下，多线盾构隧道的施工必定会给各条隧道，尤其是首挖隧道带来重大影响，也会对随后的科学实验装置的使用产生不利影响。因此，对于深埋小净距多线隧道盾构推进时，各条隧道，尤其是首挖隧道的断面变形历时曲线和收敛规律有必要进行深入研究。

目前多线平行隧道的研究主要集中于双线。针对双线隧道开挖引起的地表沉降、隧道变形等问题，国内外学者通过理论研究^[1-6]、数值模拟^[7-14]、模型试验^[15-16]和现场监测^[17-19]等不同方面进行了深入的探讨。对于三线隧道，王明年等^[20]通过模型试验对软弱围岩下三孔小间距浅埋暗挖隧道的地表沉降控制技术进行了研究；陈越峰等^[21]针对上海某地铁近距离三线并行盾构区间隧道的施工进行现场监测分析研究，总结归纳了盾构施工对周围深层土体水平位移、深层土体沉降、孔隙水压力的基本影响规律；赵建华^[22]采用数值模拟分析方法研究了三孔隧洞不同施工开挖顺序工况下的地表沉降、初期支护位移、围岩塑性区和初期支护受力情况，并进行对比分析。

由于目前对多线平行盾构的研究主要集中在双线，而对深埋三线及以上平行盾构的研究较少。本文通过结合上海硬X射线激光装置土建工程，探究了深埋小净距多线平行盾构隧道在不同开挖顺序条件下，各盾构隧道，尤其是首挖隧道的变形情况，对其断面的变形收敛规律进行了研究，提出了合适的隧道开挖次序；探究了不同施工参数对首挖隧道管片变形的影响，为后续施工的顺利推进提供了保障。

1. 工程概况

上海硬X射线自由电子激光装置土建工程位于上海市浦东新区张江园区祖冲之路与华夏中路之间，西侧为罗山路高架和磁悬浮。项目主要由长约3.2 km的地下隧道、5个竖井及竖井附近的地面设施组成。地下隧道段整体呈南北走向。拟建工程地下隧道分为加速器段、波荡器段、光束线段和超长光束线段。加速器段由1条隧道构成，长度约1 285 m；波荡器段由3条隧道构成，长度各约400 m；光束线段由3条隧道构成，长度各约300 m；超长光束线由3条隧道构成，长度各约785 m。其对应的平面示意图如图1所示，盾构之间的关系如图2所示。隧道均采用拼装式混凝土衬砌管片，外径为6.6 m，内径为5.9 m，管片厚度为350 mm，环宽1.5 m。管片混凝土强度等级为C55，抗渗等级P12，错缝拼装。隧道间距为4 m，盾构机覆土深度30 m，C/D约为4.55。工程采用3台土压式平衡盾构机施工，相隔一段时间渐次出发。本工程自2019年开始施工，现阶段已完成超深工作井工程，盾构段还未开始施工。施工方下阶段将会按照本文所提供的开挖次序进行工程测试。盾构推进的准备工作正在有条不紊的推进当中。

图 1. 硬X射线平行盾构工程平面图

Figure 1. Layout of the hard X-ray parallel shield engineering

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本区间地层由黏性土、粉土、砂性土交互沉积而成，按土层结构、成因及性状特性将其划分为7层，土层分布情况如图2所示，由地勘报告可得各土层物理力学参数见表1。地下水为潜水，埋深2 m。

图 2. 小净距平行盾构隧道横剖面图（单位：m）

Figure 2. Cross section of a parallel shield tunnel（unit：m）

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表 1. 土体物理力学参数

Table 1. Mechanical parameters of soils

土层	层厚/m	重度/（kN·m⁻³）	黏聚力/kPa	内摩擦角/（°）	弹性模量/MPa	泊松比	渗透系数/（cm·s⁻¹）
③	11.0	17.7	16	14.0	32.14	0.40	6×10⁻⁷
④	8.0	16.8	16	9.5	19.92	0.40	1×10⁻⁸
⑤₁	1.7	17.7	20	13.5	34.68	0.40	1×10⁻⁸
⑤₂	5.3	18.1	12	21.5	57.23	0.35	3×10⁻⁶
⑤₄	14.6	19.8	43	15.5	46.82	0.40	1×10⁻⁸
⑦₁	6.4	18.9	4	31.0	94.87	0.30	8×10⁻⁶
⑦₂	15.0	19.3	3	33.0	116.37	0.30	1×10⁻⁵

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2. 多线盾构施工模拟

2.1 多线盾构施工模拟情况

为了更准确地模拟多线平行盾构的开挖情况，根据对称原则以及实际的盾构开挖情况（以3#-4#、4#-5#区间为例，图3）采用2种不同的开挖方式，开挖示意图如图4所示。其中5#、6#、7#隧道分别对应左、中、右线隧道。

（1）左线-右线-中线

考虑到实际多条隧道开挖间隔以及模型的尺寸大小，以 $\Delta$ =120 m为距离进行盾构隧道开挖。整个多线隧道开挖分为4步：①首先开挖左线隧道；②左线隧道开挖 $\Delta$ 距离后，右线开挖；开挖60 m后，左线隧道开挖完成；③右线隧道开挖 $\Delta$ 距离之后，中线开挖；开挖60 m后，右线隧道开挖完成；④中线隧道开挖完成。

（2）中线-右线-左线

与工况1类似，以 $\Delta$ =120 m为距离进行盾构隧道开挖。整个多线隧道开挖分为4步：①首先开挖中线隧道；②中线隧道开挖 $\Delta$ 距离后，右线开挖；开挖60 m后，中线隧道开挖完成；③右线隧道开挖 $\Delta$ 距离之后，左线开挖；开挖60 m后，右线隧道开挖完成；④左线隧道开挖完成。

图 3. 实际盾构掘进情况

Figure 3. Actual conditions of shield tunneling

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图 4. 开挖方式示意图

Figure 4. Schematic diagram of the excavation method

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2.2 三维有限元模型建立

根据隧道间的穿越位置关系，考虑盾构掘进对土体的扰动及其影响范围，利用有限元软件ABAQUS构建三维有限元模型，模拟实际工况。模型的尺寸以及盾构相对位置示意图见图5。模型边界条件：所有侧面限制其法向位移；底面设置为3个方向全约束；上表面取至地表，为自由面，保证模型的竖向变形不受边界条件约束。盾构隧道的开挖采用生死单元法模拟。

图 5. 盾构开挖有限元模型

Figure 5. Finite element model of shield excavation

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将衬砌管片壁后受扰动土体和注浆情况概化为一均质、等厚的等代层进行计算，根据文献[13]的方法，将等代层的厚度取为0.14 m。

2.3 模型参数选择

土体的本构模型采用Mohr-Coulomb模型，各土层物理力学参数见表1。衬砌管片采用弹性模型。C55混凝土根据规范取弹性模量为35.5 GPa，泊松比0.17。为考虑环与环之间连接对隧道整体刚度的降低，将模型中衬砌弹性模量取为C55的85%，即折减后衬砌弹性模量E = 30.2 GPa。模拟盾构机施工过程时，开挖面支护压力采用0.73倍的土层静止土压力，并考虑应力梯度，将开挖面的支护压力设置为梯形，上小下大；为了简化施工步骤，将6环设置为1个开挖步，共计46个开挖步。开挖后立即施加支护力，并添加等代层和衬砌管片。

不施加地下水时，土体与混凝土管片单元均采用实体单元C3D8，模型共计75 840个实体单元。施加地下水时，采用设置孔隙水压力边界的方法进行施做。在土层2 m深处设置孔隙水压力为0，然后以梯度的方式向下进行设置，梯度值为水的重度。分析步采用Soils稳态。土体采用C3D8P单元，管片和等代层依然采用C3D8单元。

3. 盾构施工影响数值模拟结果分析

3.1 开挖过程中首挖隧道管片变形分析

为简化隧道断面管片变形的描述，取首挖隧道第10节管片，即图5中LC、CC、RC位置处管片为研究对象。选取内径顶部处点A、右端点C、底部处点D和左端点B的变形进行研究（图6）。

图 6. 管片截面计算测点位置

Figure 6. Situation of the segment section

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根据各点竖向和水平变形增量数据与隧道开挖历程的关系，可以得到不同施工阶段首挖隧道管片的变形增量曲线。

为了更合理地描述管片各特征点的位移增量随时间历程的变化，选取模型的历程分析步为横坐标，用以描述整个模型开挖的过程。由于本节探究的是后挖隧道对首挖隧道管片的变形影响，因此时间历程由第二条隧道开挖起始，直至所有隧道开挖完成。

由于地下岩土层环境的复杂性和不确定性，为了保证盾构掘进的安全性，对盾构的顶推力进行了参数分析。这里引入支护应力比λ：

$\lambda = {\sigma _{\rm{s}}}/{\sigma _0}$

式中：λ−支护应力比，本次λ取为0.5，0.6，0.7，0.8；

σ_s−开挖面中心顶推力；

σ₀−隧道中心原始地层静止土压力。

注浆的弹性模量受材料种类、硬化时间以及周围土体的影响较大，对管片的变形收敛具有一定的影响，因此也对其进行了参数的敏感性分析，这里取弹性模量4，6，8，10 MPa进行分析。由表2可以看出有无地下水对管片收敛的影响较小，因此选取无地下水时的情况进行参数分析。

表 2. 不同工况下管片收敛变形

Table 2. Convergence deformation of segments under different conditions /mm

工况		竖向变形			水平变形
工况		顶部点（A）	底部点（D）	收敛值	左侧点（B）	右侧点（C）	收敛值
工况1	无地下水	−0.43	−0.36	−0.07	1.54	1.62	0.08
工况1	有地下水	−1.06	−0.95	−0.11	2.01	2.09	0.08
工况2	无地下水	0.16	0.26	−0.10	−0.07	−0.15	0.08
工况2	有地下水	−1.18	−1.00	−0.18	0.10	0.20	0.10
注：收敛变形，“+”表示外扩，“−”表示内收。

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3.1.1 工况1“左-右-中”管片变形分析

选取LC管片顶部处与底部处的竖直U3变形增量和左端点与右端点的水平U1变形增量绘制变形增量图，进行管片变形分析。

（1）地下水的影响

由图7可知，随着后2条隧道的开挖，首挖隧道管片顶部和底部的竖向位移增量呈现一小一大“同向双峰”的变化形式，且双峰出现的位置皆位于另外2条隧道开挖面临近所选取管片的时间。峰值不同的原因是由于后2条隧道与首挖隧道的不同间距所导致的。由图7（a）（b）可知，顶部和底部点的位移增量皆为负值，即首挖隧道在另外2条隧道开挖的影响下，隧道管片整体不断下移，这是由于后2条隧道开挖后应力释放的结果。在地下水的影响下，由于水压的作用，导致隧道的竖向变形增量变大，A点竖向变形最大值由无水时的−0.066 mm变为−0.121 mm；D点的竖向变形最大值由无水时的−0.026 mm变为−0.072 mm。由图7（c）（d）可知，在地下水的影响下，管片水平变形增量略有增大，尤其是右侧隧道开挖导致的LC管片变形增量显著增大。B点水平变形增量由0.111 mm变为0.219 mm，C点的水平变形增量由0.116 mm变为0.23 mm。综上可知，地下水对工程有着一定的影响。

图 7. 地下水对管片变形的影响（工况1）（E=10 MPa，λ=0.7）

Figure 7. Influence of groundwater on the deformation of pipe segment（case 1）（E=10 MPa, λ=0.7）

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（2）注浆弹性模量的影响

由图8（a）（b）可知，在4种工况下，随着注浆弹性模量的增大，隧道管片顶部和底部的竖向变形增量随之减小。由图8（c）（d）可知，在4种工况下，随着注浆弹性模量的增大，右侧隧道开挖对首挖隧道的水平变形影响随之减小，而中部隧道开挖对首挖隧道水平变形的影响先增大后略微减小。

图 8. 注浆弹性模量对管片变形的影响（工况1）（λ=0.7）

Figure 8. Influence of elastic modulus of grouting on the deformation of pipe segment（case 1）（λ=0.7）

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（3）顶推力的影响

如图9所示，在4种工况下，随着开挖面支护力的增加，A点和D点的竖向位移增量不断减小，B点和C点的水平位移增量不断增大。但支护力在0.6P（P为隧道中心原始地层静止土压力）和0.7P时隧道管片变形增量基本一致，因此将支护力维持在0.6P～0.7P之间时，隧道管片变形比较稳定，更容易控制。

图 9. 顶推力对管片变形的影响（工况1）（E=10 MPa）

注：P为隧道中心原始地层静止土压力，后同。

Figure 9. Influence of supporting force of excavation face on the deformation of pipe segment（case 1）（E=10 MPa）

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3.1.2 工况2“中-右-左”管片变形分析

选取CC管片顶部处与底部处的竖直U3变形增量和左端点与右端点的水平U1变形增量绘制变形增量图如图10所示。

图 10. 地下水对管片变形的影响（工况2）（E=10 MPa, λ=0.7）

Figure 10. Influence of groundwater on the deformation of pipe segment（case 2）（E=10 MPa, λ=0.7）

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（1）地下水的影响

由图10（a）（b）可知，在没有地下水的影响下，由于土体开挖导致的应力释放使得首挖的中部隧道整体上浮，双峰的增量都为正值。而在有地下水的影响下，使得首挖的中部隧道整体下沉，双峰的增量均为负值。由图10（c）（d）可知，在有地下水的影响下，管片左右两侧的水平变形增量相较于无地下水时显著增大，左端点最大值由0.295 mm变为0.427 mm，右端点最大值由0.325 mm变为0.473 mm。地下水对衬砌的变形有着一定的影响。

（2）注浆弹性模量的影响

如图11（a）（b）所示，在4种工况下，随着注浆弹性模量的增大，隧道管片顶点和底部点的竖向变形增量绝对值不断减小，直至10 MPa时变为正值。这是由于注浆弹性模量过低，会使得衬砌管片直接承受来自周围的围岩压力作用，导致衬砌发生过量变形。而在图11（c）（d）中，管片左右两侧的水平变形会由于等代层的刚度变化而产生先增大后减小的变化趋势。

图 11. 注浆层弹性模量对管片变形的影响（工况2）（λ=0.7）

Figure 11. Influence of elastic modulus of grouting layer on the deformation of pipe segment（case 2）（λ=0.7）

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（3）顶推力的影响

由图12（a）（b）可知，在4种工况下，随着开挖面支护力的增大，管片顶部和底部的竖向位移增量基本不变。由图12（c）（d）可知，随着支护力的增大，管片左右两侧点的水平位移增量不断增大，但增大幅度很小。当支护力在0.6P～0.7P之间时，隧道管片变形增量基本一致，因此将支护力维持在0.6P～0.7P之间时，隧道管片变形比较稳定，更容易控制。

图 12. 顶推力对管片变形的影响（工况2）（E=10 MPa）

Figure 12. Influence of supporting force of excavation face on the deformation of pipe segment（case 2）（E=10 MPa）

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3.2 隧道横断面管片收敛情况分析

由以上分析可知，工况1与工况2隧道收敛变形情况有所不同。为了便于管片变形收敛情况的比较，选取首挖隧道第10环处管片断面进行分析。分析时分别考虑了有无地下水的影响，2种工况下管片的收敛变形图如图13所示，收敛变形值见表2。

图 13. 隧道无地下水时管片收敛变形

Figure 13. Convergence deformation of tunnel segment without water

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结合图13与表2中的数据可知，对于工况1，在无地下水情况下，隧道管片整体向右下方偏移，隧道趋于扁平形状，管片顶、底之间的相对位移量为0.07 mm，两侧拱腰之间管片的相对位移值0.08 mm。对于工况2，隧道管片整体向左上方偏移，表现为隧道趋于扁平，管片顶、底之间的相对位移量为0.1 mm，两侧拱腰之间管片的相对位移值为0.08 mm。当存在地下水时，工况1的管片收敛情况变化很小，而工况2的收敛变化较大，竖向收敛值达到0.18 mm。因此，对比这几种情况，第一种开挖方式，即“左-右-中”的开挖方式对首挖隧道影响最小。

4. 结论

（1）首挖隧道为左线隧道时，随着右线和中线隧道的开挖，首挖隧道管片变形增量呈“一小一大”双峰分布，这是由于后续两线隧道距离首挖隧道距离远近的不同导致；首挖隧道为中部隧道时，随着右线和左线隧道的开挖，首挖隧道管片竖直方向变形增量呈现“同侧相同双峰”分布，水平方向变形增量呈现“异侧相同双峰”分布，表明该工况下首挖隧道的管片变形不受两侧隧道开挖次序的影响。

（2）随着注浆弹性模量的增大，隧道管片竖向变形增量不断减小，水平变形增量有一个先增大后减小的变化；随着开挖面支护力的增大，隧道管片的竖向变形增量绝对值不断减少，水平变形增量不断增大。当顶推力在0.6P～0.7P之间时，隧道管片变形增量基本一致，因此将顶推力维持在0.6P～0.7P之间时，隧道管片变形比较稳定，更容易控制。

（3）有地下水存在时，管片变形增量的变化规律基本不变，但管片整体位移较无地下水时增大。

（4）在对比2种工况隧道开挖完成后的隧道管片收敛情况后，工况1的收敛情况更小，因此开挖时建议采用左线-右线-中线的开挖方式，降低隧道开挖对已建隧道管片的影响。

基于弹塑性修正Hertz接触理论的落石冲击力计算方法

四川省地质工程勘察院,四川成都,610072