Investigation of the representative elementary volume of fractured rock mass using the homogeneity index
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摘要:
表征单元体(REV)是岩体力学中的一个基础性概念,其存在性是确定岩体等效参数和应用连续介质方法进行研究的前提条件。为综合反映裂隙大小、产状和密度对岩体REV的影响,本文提出采用岩体非均质系数HI来确定岩体的REV。首先,详细介绍了非均质系数的概念和含义。利用General Block软件建立了中等间距-中等延展性(MS1-MP1)裂隙的网络模型,并完成20次随机实现。从各模型中选取10个不同尺寸的岩体模型计算非均质系数,结果表明:非均质系数具有明显的尺寸效应,当岩体尺寸不小于8 m时,非均质系数的平均值和标准差分别为0.5和0.14,综合确定该岩体的REV为8 m。采用HI对三峡地下电站厂房围岩的研究表明,该岩体的REV为60 m,可作为非连续介质方法适用性的判断标准。HI是从岩体结构角度提出的新指标,适用于确定岩体的REV和统计范围,对岩体的统计分析和等效参数研究具有重要意义。
Abstract:Representative elementary volume (REV) is a fundamental concept in rock mechanics and its existence is a prerequisite for estimating the equivalent parameters of rock mass and applying the continuum method to investigating the rock mass. To comprehensively consider the effects of fracture size, orientation and density on the REV of rock mass, the heterogeneity index (HI) is presented to estimate the REV. The concept and meaning of HI are elaborated and 20 random realizations of fracture network models with moderate spacing and medium persistence are implemented using the General Block software. For each realization, ten rock mass models with different sizes are selected to calculate the HI. The results show an obvious size effect of the homogeneity index. The mean value and standard deviation of the homogeneity index are 0.5 and 0.14, respectively, when the size of the rock mass is not less than 8 m, and the REV for the rock mass is determined to 8 m. The investigation of the surrounding rock mass of the underground powerhouse in the Three Gorges using the HI shows a REV size of 60 m, which can be used as a criterion for the applicability of the discontinuous method. HI is a new index proposed from the perspective of rock mass structure, which is suitable for determining the REV and statistical range of rock masses. It is of great significance for the statistical analysis and investigation of the equivalent parameters of rock masses.
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表征单元体(representative elementary volume,REV)是岩体力学中的一个重要概念。对裂隙岩体而言,表征单元体的存在是应用连续介质方法对其进行研究的前提。只有当裂隙岩体的研究尺度大于等于REV时,连续介质方法才适用于岩体的数值分析,岩体的等效参数才能表征裂隙岩体的性质。因此,REV 的确定对研究裂隙岩体具有重要意义。
由于关注的角度不同,许多学者选取不同的参数来确定裂隙岩体的REV。王晓明等[1]将这些研究参数归纳总结为结构面及块体几何参数、岩体力学参数和水力学参数。几何参数包括岩体的块体化程度[2-3]、岩石质量指标RQD[4-5]、体积节理数[6]、裂隙连通率[7-8]等;力学参数包括岩体的弹性模量、泊松比、柔度矩阵及单轴抗压强度等[9-12];水力学参数主要为等效渗透系数和渗透系数张量[13-14]。选取的参数不同,确定的岩体REV尺寸也不相同。裂隙岩体的力学性质和水力学性质主要取决于岩体中普遍存在的裂隙或结构面,这些裂隙的大小、方向和密度对岩体的性质起着控制作用。当岩体的体积达到某一特定值时,裂隙的这些参数便具有统计学上的代表性,岩体的等效力学参数和水力学参数才逐渐趋于稳定,此时对应的岩体体积即为岩体的REV。根据裂隙参数确定的几何REV是确定力学REV的基础[15],也是建立裂隙网络模型应满足的最小尺寸。因此,从岩体结构的角度出发,根据裂隙的大小、产状和密度等特征参数确定岩体的REV是十分必要的。
本文旨在根据裂隙多参数(大小、产状、密度)的尺寸效应确定裂隙岩体的REV。首先,提出岩体非均质系数的概念,该指标综合反映了多个裂隙参数的统计代表性。选取中等间距-中等延展性的裂隙建立20个三维裂隙网络模型,从模型中选取不同尺寸的研究区域分析非均质系数的尺寸效应,进而确定岩体的REV。
1. 非均质系数
岩体中裂隙空间的分布和组合形式构成了岩体结构,是决定岩体工程地质特征和力学性质的关键因素。对于某一特定的岩体而言,影响其工程性质的主要因素包括裂隙的大小、方向和密度等,正是由于这些参数的随机性和复杂性,岩体表现出显著的非均质性和尺寸效应。裂隙网络模型作为描述岩体结构最重要的手段,通常将裂隙视为有限大小的圆盘,裂隙的大小用圆盘的半径或直径描述,半径的离散程度用标准差衡量。裂隙的产状多服从Fisher分布(式(1)),θ'和ϕ'分别是当把z轴旋转至裂隙的平均矢量方向后在新坐标系中的倾向和倾角,κ反映了裂隙产状分布的集中程度,κ越大表明同组裂隙的方向越集中。裂隙的三维密度为单位体积岩体内裂隙的数量,反映了岩体中裂隙的密集程度。
f(θ')=κsinθ'2sinh(κ)eκcosθ',0⩽ \tag{1b}f({\phi {\text{'}}}) = \frac{1}{{2\text{π} }},0 \leqslant \phi {\text{'}} \lt 2 {\text{π}} 为了综合反映岩体中裂隙半径、产状和密度的统计代表性,本文提出了岩体非均质系数(heterogeneity index, HI)的概念,该指标用于评价特定体积岩体的裂隙参数(大小、产状和密度)是否具有统计意义。只有当岩体具有统计代表性时,才能进一步确定裂隙岩体的等效参数。三维裂隙网络模型是计算HI的基础,根据现场实测裂隙的迹长、产状和一维(或二维)密度,可以推求出实测裂隙的半径和三维密度,基于这些参数即可建立裂隙网络模型。裂隙网络模型具有尺寸效应,不同尺寸的模型其统计参数诸如半径均值、标准差、平均产状、κ和三维密度随着模型体积的增大而趋于实测值,意味着岩体具有统计代表性。模型中,模拟裂隙的半径均值、标准差和三维密度可以根据每组裂隙的数量和半径通过统计分析确定,本文重点介绍裂隙产状的均质性计算过程。裂隙产状可以用裂隙面的法向量表示,实测裂隙的平均法向量为p,模拟裂隙的平均法向量为pc。二者方向越接近,则其夹角越小,夹角正弦值越小,因此可采用夹角正弦值来反映裂隙产状的均质性。根据向量代数可知,p和pc的夹角余弦值为:
\cos ({\boldsymbol{p}},{{\boldsymbol{p}}^{\rm{c}}}) = \frac{{{{\boldsymbol{p}}^{\rm{c}}} \cdot {\boldsymbol{p}}}}{{\left| {{{\boldsymbol{p}}^{\rm{c}}}} \right|\left| {\boldsymbol{p}} \right|}} (2) 则p和pc的夹角正弦值为:
\sin ({\boldsymbol{p}},{{\boldsymbol{p}}^{\rm{c}}}) = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{{\boldsymbol{p}}^{\rm{c}}} \cdot {\boldsymbol{p}}}}{{\left| {{{\boldsymbol{p}}^{\rm{c}}}} \right|\left| {\boldsymbol{p}} \right|}}} \right)}^2}} (3) 裂隙产状Fisher分布的常数κ可按下式计算[16]:
\kappa = \frac{{N - 1}}{{N - \left| {{{\boldsymbol{r}}_{{N}}}} \right|}} (4) 式中:N−裂隙的数量;
rN−裂隙面的和向量。
综上分析,HI的计算公式如下:
{\begin{split} &HI =\\ &\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {\left| {\frac{{\mu _i^{\rm{c}} - {\mu _i}}}{{{\mu _i}}}} \right| \!+\! \left| {\frac{{\sigma _i^{\rm{c}} - {\sigma _i}}}{{{\sigma _i}}}} \right| \!+\! \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{\boldsymbol{p}}_i^{\rm{c}} \cdot {{\boldsymbol{p}}_i}}}{{\left| {{\boldsymbol{p}}_i^{\rm{c}}} \right|\left| {{{\boldsymbol{p}}_i}} \right|}}} \right)}^2}} \!\!+\! \left| {\frac{{\kappa _i^{\rm{c}} - {\kappa _i}}}{{{\kappa _i}}}} \right| \!+\! \left| {\frac{{d_i^{\rm{c}} - {d_i}}}{{{d_i}}}} \right|} \right]} \end{split}} (5) 式中:n−裂隙组数;
μic−研究区域内第i组模拟裂隙的半径均值;
μi−第i组实测裂隙的半径均值;
σic−研究区域内第i组模拟裂隙半径标准差;
σi−第i组实测裂隙的半径标准差;
pic−研究区域内第i组模拟裂隙平均产状的法向量;
pi−第i组实测裂隙平均产状的法向量;
κic−研究区域内第i组模拟裂隙所服从的Fisher分布的常量;
κi−第i组实测裂隙所服从的Fisher分布的常量;
dic−研究区域内第i组模拟裂隙的三维密度;
di−第i组实测裂隙的三维密度。
p和κ的计算可查阅文献[16],限于篇幅本文不再详细介绍。
式(5)中,[]内第一项表示研究区域内模拟裂隙半径均值的相对误差;第二项表示模拟裂隙半径标准差的相对误差;第三项为模拟裂隙平均产状与实测裂隙平均产状夹角的正弦值,反映了模拟裂隙平均产状偏离实测平均产状的程度;第四项表示模拟裂隙产状Fisher分布常数κ的相对误差;第五项表示模拟裂隙三维密度的相对误差。综上可知,非均质系数HI反映了模拟裂隙的半径、产状和密度与实测值之间的相对误差,是一个无量纲参数。HI越小,表明岩体越接近统计均质体。
2. 研究数据和三维裂隙网络模型
2.1 研究数据
Xia等[2]根据国际岩石力学学会(1978)的岩体裂隙分级表,构建了77种不同长度D、不同间距C的裂隙网络。本文选取中间的模型即中等间距-中等延展性(MS1-MP1)模型(C = 0.4 m,D = 6.5 m)来进行详细研究。用于构建裂隙网络模型的裂隙参数见表1。
表 1. 中等间距-中等延展性裂隙网络模型参数表Table 1. Parameters for generating the discrete fracture network of the MS1-MP1 model裂隙组号 1 2 3 半径分布形式 正态分布 正态分布 正态分布 半径均值/m 3.25 3.25 3.25 半径标准差/m 0.5 0.5 0.5 产状分布形式 Fisher分布 Fisher分布 Fisher分布 平均倾向/(°) 0 90 180 平均倾角/(°) 0 90 90 参数κ 20 20 20 三维密度/(条·m−3) 0.075 3 0.075 3 0.075 3 2.2 三维裂隙网络模型
研究采用于青春等[17-19]开发的General Block(GB)软件建立三维裂隙网络模型。该软件具有裂隙网络模拟、一般块体识别和块体稳定性分析等功能,在工程地质领域得到了广泛应用[20-22]。裂隙网络模拟是根据实测裂隙的特征参数及其分布形式,采用Monte Carlo随机模拟方法产生模拟裂隙的过程,模拟裂隙与实测裂隙的特征参数和分布形式一致。本文假设裂隙为圆盘状,其中心坐标服从泊松分布,即每个裂隙中心点坐标是相互独立的,裂隙的数量由其三维密度确定。用GB软件进行三维裂隙网络模拟,只需在界面输入并保存各组裂隙的参数和分布形式,点击Fracture Generation按钮即可完成。由于裂隙的生成具有随机性,本文对MS1-MP1模型进行20次随机实现,共生成20个裂隙网络模型,图1为种子数为8时生成的裂隙网络模型。模型均为立方体,边长为20 m,每组裂隙的数量为602条。软件生成的随机裂隙数据全部保存在random_fracture_xyzabr文件中,具体包括每条裂隙的空间坐标、倾向、倾角及半径等数据。利用这些数据计算每个模型的HI,得到HI的范围为0.23~0.68。同时对比模拟的裂隙参数(表2,HI = 0.68)与实测值,两者基本一致,表明本文所建立的裂隙网络模型是可靠的。
表 2. 中等间距-中等延展性裂隙岩体模拟裂隙参数Table 2. Parameters for the simulated fractures of the MS1-MP1 rock mass裂隙组号 1 2 3 半径分布形式 正态分布 正态分布 正态分布 半径均值/m 3.34 3.35 3.37 半径标准差/m 0.56 0.58 0.55 产状分布形式 Fisher分布 Fisher分布 Fisher分布 平均倾向/(°) 341.7 86.7 183.7 平均倾角/(°) 2.2 89.0 87.1 参数κ 20.5 24.0 24.2 三维密度/(条·m−3) 0.075 3 0.075 3 0.075 3 3. 岩体REV的确定
HI具有尺寸效应,当研究区域的体积达到REV时HI应趋于0,表明研究区域内裂隙的参数具有统计学上的代表性。根据HI的尺寸效应可以确定岩体的REV,该REV能够保证岩体的裂隙参数具有良好的代表性,达到REV的岩体可看作统计均质性岩体。
为了确定岩体的REV,从每一个随机生成的裂隙网络模型中选取10级不同尺寸的研究区域计算其HI。选取的研究区域均为立方体,中心与20 m裂隙网络模型中心一致,尺寸分别为2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 m。根据研究区域内包含的裂隙数量和裂隙参数,运用公式(5)计算每个研究区域的HI,结果详见图2。计算过程中发现,当研究区域为2 m时,包含的裂隙数量很少甚至为完整岩体,这样便无法计算岩体的HI,因此不再对2 m的研究区域进行HI统计分析,但显然这种尺寸的岩体是非均质的。图2反映了HI随研究区域尺寸的变化情况,圆点代表不同模型、不同尺寸岩体的HI,曲线代表HI的平均值。可以看出,HI表现出显著的尺寸效应,随着尺寸的增大,HI总体上减小并趋于稳定。当研究区域的尺寸达到8 m时,HI的均值基本稳定在0.5上下。
从图2也可以看出,当研究区域的尺寸小于6 m时,HI的离散性比较大,反映出岩体是非均质的;当岩体尺寸不小于8 m时,HI上下波动很小,反映出岩体具有统计意义上的均质性。根据各级岩体的HI,计算得到HI的标准差(图3)。HI标准差随岩体尺寸的增大而减小,当岩体尺寸达到8 m时,HI标准差稳定在0.14上下。随着岩体尺寸的进一步增大,HI标准差没有明显的变化。根据HI的平均值和标准差的尺寸效应,综合确定中等间距-中等延展性(MS1-MP1)裂隙岩体的REV为8 m。文献[2]根据块体百分比确定的岩体REV为10 m,大于由HI确定的REV,表明获得岩体的统计均质区是确定岩体等效参数的前提条件。
4. 工程实例验算
三峡水电站是迄今世界上最大的水利枢纽,位于长江西陵峡中段,坝址所在地位于湖北省宜昌市夷陵区三斗坪镇,控制流域面积约100×104 km2。三峡水利枢纽主要由拦河大坝、电站建筑物、通航建筑物、茅坪溪防护工程等组成。地下电站位于右岸白岩尖山体内,主要建筑分为引水系统、主厂房系统、尾水系统三大部分。其中主厂房洞室为圆拱直墙型,全长311.3 m,轴线走向223.5°,最大跨度32.6 m,最大高度87.3 m。厂房围岩为坚硬的花岗岩,岩体完整—较完整,整体稳定性较好。地下电站厂房洞室的开挖揭露了大量裂隙,为研究岩体统计均质区提供了丰富的资料,文献[23]对裂隙进行了统计分析,具体参数见表3。
表 3. 三峡地下电站厂房围岩裂隙参数表[23]Table 3. Fracture parameters of the surrounding rock mass of the underground powerhouse in the Three Gorges裂隙组号 1 2 3 半径分布形式 对数正态 对数正态 对数正态 半径均值/m 4.48 4.81 5.19 半径标准差/m 2.98 2.81 2.92 产状分布形式 Fisher分布 Fisher分布 Fisher分布 平均倾向/(°) 80.07 261.77 355.76 平均倾角/(°) 40.22 47.52 71.70 参数κ 9.50 7.80 10.19 三维密度/(条·m-3) 0.002 834 0.002 626 0.002 775 根据裂隙参数随机生成了20个边长为100 m的三维裂隙网络模型,并按照上述方法分别计算不同尺寸岩体的HI,结算结果见图4。可以看出,三峡地下电站厂房岩体的HI同样具有明显的尺寸效应,当岩体尺寸不小于60 m时,其HI基本稳定在0.7。根据HI的平均值和标准差综合确定该岩体的REV为60 m,表明对该岩体进行统计分析的尺寸不应小于60 m×60 m×60 m。若研究范围小于该尺寸,应采用非连续介质方法确定岩体的等效参数。
5. 结论
(1)本文从岩体结构的角度提出了岩体非均质系数HI的概念,该指标为研究区域内模拟裂隙的半径、产状和密度与实测值之间的相对误差之和,综合反映了岩体中裂隙半径、产状和密度的统计代表性,可以作为确定岩体REV和裂隙统计区的指标。
(2)对中等间距-中等延展性(MS1-MP1)裂隙岩体的研究表明,HI具有明显的尺寸效应,根据HI的平均值和标准差,综合确定该岩体的REV为8 m。
(3)采用HI对三峡地下电站厂房围岩的尺寸效应进行了研究,综合确定该岩体的REV为60 m,表明对该岩体进行统计分析的尺寸不应小于60 m×60 m×60 m,否则应采用非连续介质方法进行研究。
(4)HI综合考虑了裂隙半径、产状和密度等多个参数的统计代表性,不仅可以作为确定岩体REV的指标,还能用于衡量同一地区不同岩体的均质程度。目前该指标尚未考虑裂隙张开度、粗糙度等裂隙参数,相关内容还有待进一步研究。
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表 1 中等间距-中等延展性裂隙网络模型参数表
Table 1. Parameters for generating the discrete fracture network of the MS1-MP1 model
裂隙组号 1 2 3 半径分布形式 正态分布 正态分布 正态分布 半径均值/m 3.25 3.25 3.25 半径标准差/m 0.5 0.5 0.5 产状分布形式 Fisher分布 Fisher分布 Fisher分布 平均倾向/(°) 0 90 180 平均倾角/(°) 0 90 90 参数κ 20 20 20 三维密度/(条·m−3) 0.075 3 0.075 3 0.075 3 表 2 中等间距-中等延展性裂隙岩体模拟裂隙参数
Table 2. Parameters for the simulated fractures of the MS1-MP1 rock mass
裂隙组号 1 2 3 半径分布形式 正态分布 正态分布 正态分布 半径均值/m 3.34 3.35 3.37 半径标准差/m 0.56 0.58 0.55 产状分布形式 Fisher分布 Fisher分布 Fisher分布 平均倾向/(°) 341.7 86.7 183.7 平均倾角/(°) 2.2 89.0 87.1 参数κ 20.5 24.0 24.2 三维密度/(条·m−3) 0.075 3 0.075 3 0.075 3 表 3 三峡地下电站厂房围岩裂隙参数表[23]
Table 3. Fracture parameters of the surrounding rock mass of the underground powerhouse in the Three Gorges
裂隙组号 1 2 3 半径分布形式 对数正态 对数正态 对数正态 半径均值/m 4.48 4.81 5.19 半径标准差/m 2.98 2.81 2.92 产状分布形式 Fisher分布 Fisher分布 Fisher分布 平均倾向/(°) 80.07 261.77 355.76 平均倾角/(°) 40.22 47.52 71.70 参数κ 9.50 7.80 10.19 三维密度/(条·m-3) 0.002 834 0.002 626 0.002 775 -
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